Egy félelmetes gyerek voltam, aki irodalmon nőtt fel, és úgy kezelte a matematikát és a természettudományt, mintha el tudnák fogni a pestist. Ezért meglehetősen furcsa, hogy ennek eredményeként olyan ember lettem, aki minden nap hármas integrálokkal, Fourier-transzformációkkal és a matematika gyöngyszemével, az Euler-egyenlettel foglalkozik. Nehéz elhinni, hogy a szó szerint veleszületett fóbiában szenvedő embertől a matematika felé mérnök professzor lettem.
Egy nap az egyik diákom megkérdezte tőlem, hogyan csináltam: hogyan változtattam meg az agyam. Azt akartam válaszolni: "A fenébe, rendkívül nehéz volt!" Végül is nem tudtam matematikát és természettudományt folytatni általános, középiskolai és középiskolai szinten. Igazság szerint csak akkor kezdtem el matematikaórákat venni, miután 26 éves koromban kirúgtak a hadseregből. Ha lenne példa a rugalmasság lehetőségére a felnőtt agyban, akkor én lennék az 1. modell.
Felnőttként matematika és természettudományi tanulmányok nyitották meg számomra a lehetőségeket a mérnöki tudományok számára. A felnőttkorban végzett kemény munkával az agyváltozásom lehetővé tette számomra, hogy saját kezűleg lássam a felnőttkori tanulás alapjául szolgáló neuroplasztikusságot. Szerencsére a rendszermérnöki doktori disszertációra való felkészülés, a különböző STEM tudományterületek (tudomány, technológia, mérnöki tudomány, matematika) hatalmas képének összekapcsolása, majd további kutatásaim és munkáim, amelyek az emberi gondolkodás struktúrájára összpontosítottak, segítettek ez utóbbi megvalósításában. a tanulási folyamattal kapcsolatos felfedezések az idegtudományokban és a kognitív pszichológiában.
A doktori fokozat megszerzése óta több ezer hallgató haladt át a kezemen, az általános iskolában és a középiskolában tanuló diákok úgy vélték, hogy a matematika megértésének szent talizmánja aktív vita. Úgy gondolják, hogy ha másoknak meg tudja magyarázni a tanultakat, például kép rajzával, akkor megértette azt.
Japán a „megértés” ezen aktív tanulási módszereinek csodálatra méltó és utánzott példájává vált. Ennek a koncepciónak a hátrányáról azonban nem gyakran beszélnek: Japán a matematika tanításának kumoni módszerének a szülőhelye is volt, amely memorizáláson, ismétlésen, zsúfoláson és azon munkálkodik, hogy a gyermek miként sajátítja el az anyagot. Ezt az intenzív tanórán kívüli programot (és más ehhez hasonló programokat) lelkesen fogadták Japánban és az egész világon élő szülők, akik gyermekeik interaktív oktatását több gyakorlattal, ismétléssel és igen, kifinomult zsúfolással egészítik ki, hogy szabadságot adjanak a téma elsajátításához.
Az Egyesült Államokban a megértés hangsúlyozása néha kiszorít egy másik régebbi módszert, amelyet a tudósok használnak (és használnak): a matematika és a természettudomány tanulmányozásához az agy természetes folyamatával kell dolgozni.
A matematika oktatási reformjának legújabb hulláma a kötelező iskolai tantervről szól: ez egy kísérlet arra, hogy Amerikában erős, egységes normákat állítson fel, bár a kritikusok rámutatnak, hogy a normák nem állnak szemben a legjobban teljesítő országokkal. Legalább felületesen a szabványok ésszerű perspektívát nyújtanak. Feltételezik, hogy a matematikában a hallgatóknak egyenlő fogalmi ismeretekkel, a problémamegoldó készség folyékonyságával és azok alkalmazásának képességével kell rendelkeznie.
A fogás természetesen a dolgok elvégzésében rejlik. A jelenlegi oktatási környezetben a STEM-tudományágakban történő memorizálást és ismétlést (szemben a nyelv vagy a zene tanulásával) gyakran lealacsonyító időpazarlásnak tekintik mind a hallgatók, mind a tanárok. Sok tanárnak régóta tanítják, hogy a fogalmi ismeretek kulcsfontosságúak a STEM tudományterületein. Valójában a tanárok könnyebben bevonják a diákokat egy matematikai téma megbeszélésébe (és ha helyesen készítik el, jobb megértést eredményez), mint fárasztó az elvégzett házi feladatokat értékelni. Ennek az a következménye, hogy a készségek folyékonyságának és azok alkalmazásának képességének egyenlő mértékben kell fejlődnie a fogalmi ismeretekkel, és ez gyakran nem történik meg. A fogalmi ismeretek terjesztése uralkodik, különösen az értékes órák idején.
Promóciós videó:
A megértésre való összpontosításnak az a nehézsége, hogy a matematika és a természettudományi órákon a hallgatók gyakran felfoghatnak egy fontos pontot, de ez a tudás gyorsan elmúlhat anélkül, hogy a gyakorlatban és az ismétlésben megalapozódna. A helyzetet tovább rontja, hogy a diákok gyakran úgy gondolják, hogy értenek valamit, amikor valójában nem. A megértés fontosságának kiemelésével a tanárok önkéntelenül is kudarc felé terelhetik diákjaikat, miközben a gyerekek a tudás illúziójában élnek. Ahogy egy mérnökhallgató nemrégiben elmondta nekem (sikertelen vizsga): „Csak nem értem, hogyan érhetnék el ilyen rossz eredményt. Mindent megértettem, amikor elmagyarázta az órán. Hallgatóm azt gondolhatta, hogy akkor megérti a témát, és talán meg is tette, de soha nem ültette át ezeket a tudásokat a gyakorlatba, hogy valóban megtanuljanak. Nem alakult ki semmilyen döntési készsége vagy képessége arra, hogy alkalmazza azt, amiről azt hiszi, hogy már értett.
Érdekes kapcsolat van a matematika és a természettudomány tanulmányozása és egy sport elsajátítása között. Amikor megtanulsz golfütővel ütni, több éven át tartó folyamatos ismétléssel tökéletesíted ezt a mozgást. A tested tudja, mit kell tennie, ha csak belegondol (az egész blokk), ahelyett, hogy emlékezne a labda eltalálásának minden nehéz lépésére.
Ugyanígy, ha ért valamit a matematikához és a természettudományhoz, akkor nem kell folyamatosan újból elmagyaráznia azt magának, valahányszor egy témával találkozik. Nem kell 25 golyót magával cipelnie, állandóan öt darabból álló sorokat fektetve ki, hogy megértse, hogy 5 × 5 = 25. Valamikor csak fejből tudja. Emlékszel arra az elképzelésre, hogy csak hozzá kell adni a kitevőket (a tetejére kis számokat kell írni), miközben ugyanazt a számot különböző fokokban kell megszorozni (104 × 105 = 109). Ha ezt az eljárást gyakran végzi, sokféle problémát megoldva, akkor azt tapasztalhatja, hogy nagyon jól ismeri mind az okokat, mind az eljárások mögött meghúzódó intézkedéseket. A megértést bővíti az a tény, hogy az agyad értelmezési sémákat épített fel. Maga a megértésre való állandó figyelem valójában akadályt jelent.
Mindezt a matematikáról és a tanulási folyamatról nem a K-12 osztályokban tanultam, hanem saját tapasztalataim szerint, gyermekként, Madeleine Langle-t és Dosztojevszkijt olvasva nőttem fel, akik a világ egyik vezető nyelvegyetemén tanultak nyelvet, majd hirtelen mérnöki professzorrá váltak.
Fiatalkoromban, tehetséggel a nyelvek iránt, és elegendő pénz vagy készség nélkül nem engedhettem meg magamnak, hogy egyetemre járjak (akkor még nem volt szó egyetemi kölcsönökről). Tehát a középiskolától kezdve egyenesen a hadsereghez mentem. Szerettem még középiskolában tanulni az idegen nyelveket, és a hadsereg olyan helynek érezte magát, ahol pénzt fizettek az embereknek az idegen nyelvek tanulásáért, még akkor is, ha a rangos Idegennyelvű Katonai Intézetben tanultak, ahol a nyelvtanulás tudománygá nőtte ki magát. Az oroszt választottam, mert nagyon különbözött az angoltól, de nem volt olyan nehéz, hogy korosztályokig kellett tanulnom, és megtanulnom beszélni négyéves szinten. Ezenkívül a vasfüggöny rejtélyével intett: hirtelen képes leszek használni az orosz nyelvtudásomat, és megnézhetem,mi áll mögötte?
A hadseregben való szolgálat után fordítani kezdtem az oroszoknak, akik szovjet vonóhálós hajókon dolgoztak a Bering-tengeren. Az oroszok számára végzett munka szórakoztató és izgalmas volt, ráadásul kissé elbűvölő munka volt ez a migránsok számára. A horgászidőszakban a tengerhez megy, tisztességes pénzt keres, útközben folyamatosan berúg, majd a szezon végén visszatér a kikötőbe, és reméli, hogy jövőre visszahívják munkába. Az oroszul beszélő személy számára a foglalkoztatásnak csak egy alternatívája volt - a Nemzetbiztonsági Ügynökségnél dolgozni (a hadseregben élő barátaim folyamatosan ajánlották nekem ezt a lehetőséget, de nem nekem szóltak).
Kezdtem megérteni, hogy az idegen nyelv ismerete önmagában is hasznos üzlet, de korlátozott lehetőségekkel és lehetőségekkel rendelkezik. Senki sem vágta le a telefonomat, senkinek sem kellett az orosz nyelvű tudomásom a deklinációkról. Hacsak nem akartam megszokni a tengeri betegséget és az esetleges alultápláltságot a Bering-tenger közepén lévő, vonzó vonóhálókon. Végig eszembe jutottak a West Pointban tanuló mérnökök, akikkel a hadseregben dolgoztam. Matematikai és tudományos megközelítésük a problémamegoldáshoz nyilvánvalóan hasznos volt a való világban, sokkal hasznosabb, mint amennyire fiatalkoromban matematikával elkövetett hibáim tették volna lehetővé.
Így 26 évesen, elhagyva a hadsereget és új lehetőségeket keresve, rájöttem: ha valóban valami újat akarok kipróbálni, miért ne kezdhetném azzal, ami új perspektívák egész világát tárhatja elém? Valami, mint a mérnöki munka? Ez azt jelentette, hogy megpróbálok egy teljesen más nyelvet megtanulni - a számítás nyelvét.
Mivel még a legegyszerűbb matematikát sem értem jól, hadsereg utáni erőfeszítéseim az algebra és a trigonometria helyreállító óráival kezdődtek. Ez jóval az egyetemi hallgatók nulla szintje alatt volt. Időnként nevetséges vállalkozásnak tűnt az agyam újraprogramozása, főleg, amikor fiatalabb osztálytársaim fiatal arcára néztem, és rájöttem, hogy ők már felhagytak matematika és természettudomány nehéz óráival, és úgy döntöttem, hogy egyenesen találkozom velük. De az én esetemben az orosz nyelv felnőttkori elsajátításának tapasztalata alapján azt gyanítottam (vagy egyszerűen reméltem), hogy az idegen nyelv tanulásának szempontjai között lesz valami, amit a matematika és a természettudomány elsajátításakor felhasználhatok.
Amikor oroszul tanultam, nemcsak a nyelv megértésére, hanem a folyékony nyelvtudására is koncentráltam. A teljes rendszer (ebben az esetben a nyelv) szabad használata szoros ismerkedést igényel, amelyet kizárólag elemeivel való ismételt és változatos interakció révén lehet elérni. Ahol osztálytársaim megelégelték a beszélt vagy írott orosz egyszerű megértését, megpróbáltam belső, mély kapcsolatot kialakítani a nyelv szavaival és szerkezetével. Nem voltam megelégedve azzal, hogy csak tudtam a "megértés" szó jelentését. Az igét a gyakorlatban használtam: folyamatosan konjugáltam különböző időkben, mondatokban használtam, végül megértettem nemcsak azt, hogy mikor kell használni az ige ezen formáját, hanem azt is, hogy mikor nem szabad ezt megtenni. Azzal a kihívással edzettem, hogy gyorsan felidézzem ezeket a szempontokat és variációkat. Ha nem tudsz folyékonyan beszélni, és valaki gyorsan fecseg rajtad, ahogy az normális beszélgetés során történik (ami mindig iszonyatosan gyorsan hangzik, amikor idegen nyelvet tanulsz), fogalmad sincs, mi vagy valójában azt mondják, bár technikailag minden szót külön-külön és a kifejezések felépítését érted. Természetesen maga nem tud elég gyorsan beszélni ahhoz, hogy az anyanyelvűek élvezhessék hallgatását.
Ezzel a megközelítéssel (a megértés helyett a folyékonyságra összpontosítva) mindenkit megelőztem az osztályban. Akkor még nem jöttem rá, de a nyelvtanulásnak ez a megközelítése intuitív megértést adott a tanulás alapvető alapjairól és a fejlett kompetenciáról - a blokkok kialakításáról.
A blokkképzést eredetileg Herbert Simon forradalmi munkájában fejlesztették ki, ahol a sakkot elemezte: a blokkokat a különböző sakk sémák különböző idegi megfelelőinek tekintették. Fokozatosan az idegtudósok rájöttek, hogy a sakk nagymesteréhez hasonló szakemberek ezt úgy érték el, hogy több ezernyi blokkot tároltak a szakterületükről a hosszú távú memóriában. A nagymesterek például több tízezer különféle sakkmintára emlékezhetnek. A tudományágtól függetlenül az ínyencek tudatukban felébreszthetnek egy vagy több jól hegesztett, idegszubrutin blokkba összeállított elemet, amelyek segítségével elemzik és reagálnak, amikor szembe kell nézniük új dolgok megismerésének szükségességével. A valódi megértés szintje, az új helyzetekben való felhasználás képessége csak ezzel az egyértelműséggel, tudásszinttel,amelyek csak ismétlést, memorizálást és gyakorlást tudnak biztosítani.
Ahogy a sakkozók, a mentőorvosok és a vadászpilóták körében elvégzett tanulmányok kimutatták, a legnagyobb stressz pillanataiban gyors tudatalatti feldolgozás váltja fel a helyzet tudatos elemzését, mivel ezek a szakemberek mély szinten kifejlesztik az idegi szubrutinok, blokkok rendszerét. Egy bizonyos pillanatban annak a tudatos "megértése", hogy miért hajtja végre ezt vagy azt a cselekedetet, csak akadályként szolgál, és nem a legsikeresebb döntéseket hozza. Amikor intuitívan megértettem, hogy összefüggés van az idegen nyelv tanulása és a matematika tanulása között, igazam volt. Az orosz nyelv napi hosszú távú gyakorlati elsajátítása feltöltötte és megerősítette idegi kapcsolataimat, és fokozatosan elkezdtem összekapcsolni a most könnyen használható nyelvtudás blokkjait. A tanulás "rétegekbe" szervezésével (más szavakkal:oly módon gyakorolva, hogy nemcsak azt tudtam, hogy mikor kell használni a szót, hanem azt is, hogy mikor nem, vagy lehetőleg annak egy másik változatát), valójában ugyanazt a megközelítést alkalmaztam, amelyet a matematika és a természettudomány gyakorlói követnek. Miközben felnőttként matematikát és mérnöki tanulmányokat folytattam, ugyanazt a stratégiát kezdtem alkalmazni, mint egy idegen nyelv tanulmányozása során. Megvizsgáltam az egyenlőséget, hogy a legelemibb példát vegyem, Newton második törvényét f = ma. Megtanultam megérteni, hogy az egyes betűk mit jelentenek: f - gravitáció - jelentett nyomás, m - testtömeg - egyfajta ellenállást gyakorol a nyomásomra, és a - élénkítő érzés a gyorsulás. (Az orosz nyelvtanulás megfelelője az orosz ábécé betűinek hangos kimondása volt). Megjegyeztem az egyenlőséget, hogy az emlékezetemben is megmaradjonés játszhattam vele. Ha m és a nagy szám volt, hogyan befolyásolta ez az f értéket, amikor bekötöttem őket a képletbe? Ha f nagy és a kicsi volt, hogyan hatott ez m-re? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség homályos körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, valójában azért, hogy a matematikát és a természettudományokat jól elsajátítsam, lassan, nap mint nap erős idegi "blokkoló" rutinokat kellett felépítenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem. Ha m és a nagy szám volt, hogyan befolyásolta ez az f értéket, amikor bekötöttem őket a képletbe? Ha f nagy és a kicsi volt, hogyan hatott ez m-re? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség homályos körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, igazából a matematika és a természettudomány elsajátítása érdekében lassan, napról napra erős idegrendszeri "blokkoló" rutinokat kellett építenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem. Ha m és a nagy szám volt, hogyan befolyásolta ez az f értéket, amikor bekötöttem őket a képletbe? Ha f nagy és a kicsi volt, hogyan hatott ez m-re? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség elmosódott körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, igazából a matematika és a természettudomány elsajátítása érdekében lassan, napról napra erős idegrendszeri "blokkoló" rutinokat kellett építenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.mikor helyettesítettem őket a képletben? Ha f nagy és a kicsi volt, hogyan hatott ez m-re? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség homályos körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár abban az időben nem nevezném így, valójában a matematika és a természettudomány megfelelő elsajátítása érdekében lassan, napról napra erőteljes idegi "blokkoló" rutinokat kellett felépítenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyedén használhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.mikor helyettesítettem őket a képletben? Ha f nagy és a kicsi volt, hogyan hatott ez m-re? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség homályos körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, valójában azért, hogy a matematikát és a természettudományokat jól elsajátítsam, lassan, nap mint nap erős idegi "blokkoló" rutinokat kellett felépítenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.hogy ez mire hatott? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség homályos körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, valójában azért, hogy a matematikát és a természettudományokat jól elsajátítsam, lassan, nap mint nap erős idegi "blokkoló" rutinokat kellett felépítenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.hogy ez mire hatott? Hogyan illeszkedtek egymáshoz az egyenlőség részei? Az egyenlőséggel játszani olyan volt, mint az igekötés. Kezdtem intuitívan megérteni, hogy az egyenlőség homályos körvonalai olyanok, mint egy metaforákkal telített vers, amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, valójában azért, hogy a matematikát és a természettudományokat jól elsajátítsam, lassan, nap mint nap erős idegi "blokkoló" rutinokat kellett felépítenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, valójában azért, hogy a matematikát és a természettudományokat jól elsajátítsam, lassan, nap mint nap erős idegi "blokkoló" rutinokat kellett felépítenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.amelyben sok szép szimbolikus kép rejtőzik. Bár akkoriban nem nevezném így, igazából a matematika és a természettudomány elsajátítása érdekében lassan, napról napra erős idegrendszeri "blokkoló" rutinokat kellett építenem (mint amilyeneket az f = ma képlettel tettem)), hogy könnyen felhasználhassam a hosszú távú memóriából származó információkat, ahogy az orosz nyelvvel tettem.ahogy az orosz nyelvvel tettem.ahogy az orosz nyelvvel tettem.
Időnként matematika- és természettudományi tanárok azt mondták nekem, hogy az elmébe mélyen beágyazott információs blokkok jelentik sikerük abszolút alapját. A megértés nem teremti meg a tudás folyékonyságát; éppen ellenkezőleg, a gördülékenység megértést épít. Valójában úgy gondolom, hogy egy komplex téma valódi megértése csak a szabad elsajátítás feltételeiben merül fel.
Más szavakkal, a természettudományok és a matematika tanításakor könnyű áttérni olyan tanítási módszerekre, ahol a hangsúly a megértésre helyezi a hangsúlyt, és kerülik a rutinismétlést és gyakorlást, amelyek a tantárgy folyékonyságának alapjául szolgálnak. Nem csak azért tanultam meg oroszul, mert megértettem - elvégre a megértés nem olyan nehéz feladat, de könnyen elmozdulhat tőled. (Mit jelent az orosz „érteni” szó?) Megtanultam az oroszt, gyakorlás, ismétlés és zsúfolás útján törekedtem a folyékonyságra, csak az a fajta zsúfolás, amely stimulálta a rugalmas és gyors gondolkodás képességét. Tanultam matematikát és természettudományt pontosan ugyanazon elvek alapján. A nyelv, a matematika, a természettudomány, mint az emberi tudás szinte minden területe, ugyanazokat az agyi mechanizmusokat használja.
Amikor új életre fakadtam, villamosmérnök lettem, majd mérnöki tanár lettem, a múltban otthagytam az orosz nyelvet. De 25 évvel azután, hogy utoljára ittam egy szovjet vonóhálón, a családommal úgy döntöttünk, hogy egész Oroszországot áthajtjuk a transzszibériai vasúton. Annak ellenére, hogy nagyon vártam ezt az utat, amiről régóta álmodtam, aggódtam. Az évek során alig beszéltem legalább egy szót oroszul. Mi lenne, ha teljesen elfelejtettem volna? Mit adott nekem a nyelvtudás ennyi éve?
Természetesen, amikor először felszálltunk a vonatra, oroszul beszéltem, mint egy kétéves gyerek. Eszeveszetten kutattam a szavak után, hibát követtem a deklinációban és a ragozásban, korábbi szinte tökéletes kiejtésem iszonyatos akcentussá vált. De megalapozták az alapokat, és napról napra egyre jobb lett az orosz nyelvem. De még alapszint mellett is képes voltam megbirkózni a napi feladatokkal utunk során. Hamarosan az útmutatók elkezdtek felém fordulni, hogy segíthessek a fordításban a többi utas számára. Végül megérkeztünk Moszkvába, és taxiba ültünk. A sofőr, amint hamar rájöttem, ragadós emberként fog rabolni minket - pontosan az ellenkező irányba hajtott minket, a forgalmi dugókon keresztül, arra számítva, hogy a semmit nem értő külföldiek hallgatólagosan fizetnek egy további órát az árfolyamon. Hirtelen elkerültek az orosz szavak,amelyet évtizedek óta nem beszéltem. Eszembe sem jutott, hogy ismerem őket.
Valahol az elmém mélyén megmaradt a nyelvtudásom, és a megfelelő pillanatban megjelent: ez gyorsan kiszabadított minket a bajból (és segített megtalálni egy másik taxit). A folyékonyság lehetővé teszi, hogy a megértés a tudat részévé váljon, és akkor jelenik meg, amikor szüksége van rá.
Amikor ma látom, mennyire hiányzik hazánkból a természettudományok és a matematika szakembere, megfigyelem a pedagógia modern trendjeit, reflektálva a saját utamra, az agyunk képességeiről megszerzett ismereteimre, megértem, hogy sokkal többet is elérhetnénk. Szülőként és tanárként egyszerű, hozzáférhető módszereket használhatunk a megértés elmélyítéséhez, ezáltal hasznos és rugalmas. Kényszeríthetjük más embereket és önmagunkat, hogy tanulmányozzanak olyan új tudományterületeket, amelyek túl nehéznek tűntek számunkra - matematika, tánc, fizika, nyelv, kémia, zene - ezáltal teljesen új világokat nyitva meg magunk és mások számára.
Ahogy magam is megértettem, mindennek az alapja a matematika alapvető, mélyen gyökerező szabad ismerete (és nemcsak a "megértés"). Számos érdekes különlegességet nyit meg. Visszatekintve megértem, hogy nem kellett volna vakon követnem hajlamaimat és érdeklődésemet. Az a részem, amely „szabadon” szerette az irodalmat és a nyelveket, ugyanaz volt, ami miatt a matematikát és a természettudományt szerettem, ez megváltoztatta és gazdagította az életemet.