Függetlenül attól, hogy ellenőrizze, mennyire gyorsan tudja feltölteni a kávéfőzőjét, vagy egyszerűen csak megszámolja a lépéseket a buszmegállóig reggel, van valami a mindennapi élet monotonitásáról, ami arra készteti bennünket, hogy játékgé változtassuk. A tizennyolcadik századi porosz város Konigsberg lakói (ma már, mint tudod, ez Kalinyingrád) ugyanazok voltak, mint mi mindannyian. Csak az a játék, amelyet a városukban hét hidattal játszottak, az egyik nap felkeltte az emberiség története egyik legnagyobb matematikusának érdeklődését.
A Konigsberg a Pregel (Pregolya) folyó partján épült, amely négy különálló lakónegyedre osztotta a várost. Az emberek hét különböző hidakon keresztül mozogtak az egyik területről a másikra. A legenda szerint a vasárnapi séták során egy népszerű időtöltési módszer az volt, hogy megpróbálták az egész várost átlépni, hogy minden hídot csak egyszer lehessen átmenni. Senki sem gondolta ki, hogyan kell ezt megtenni, de ez nem azt jelenti, hogy a problémának nincs megoldása. Csak el kellett menniük a megfelelő szakértőhöz, hogy megismerjék.
1735-ben a Konigsbergtől 120 kilométerre nyugatra fekvő Danzig polgármester (jelenleg a lengyel Gdansk város), Karl Leonard Gottlieb Ehler levelet írt Leonard Euler-nek levélben, amelyben segítséget kért e probléma megoldásában egy Heinrich nevű matematika professzor nevében. Kuehn. Euler akkor is híres és rendkívül sikeres matematikus volt - az első könyvet a levél után egy éven belül kiadta, egész élete során több mint 500 könyvet és cikket írt.
Ezért nem meglepő, hogy Euler először azt gondolta, hogy méltóságának felel meg ennek a problémának a kezelése, és válaszként írta: „Tehát, látod, tisztelt uram, az ilyen típusú megoldás gyakorlatilag nincs kapcsolatban a matematikával, és nem értem, miért foglalkozik ilyen problémával. kérés matematikusnak és nem másoknak, mivel a döntés csak a józan észen alapul, és nem függ az ismert matematikai alapelvek egyikétől."
Végül Ehlernek és Kühnnek sikerült meggyőznie Euler-t, és rájött, hogy ez egy teljesen új típusú matematika - a "pozíciók geometriája", amelyet ma topológiának hívnak. A topológiában az objektum pontos alakja vagy helye nem számít. Van még egy régi vicc, hogy a topológus nem tudja megmondani a különbséget a fánk és a kávéscsésze között, mivel mindkét elem pontosan egy lyukkal rendelkezik. Addig a matematika teljesen új területéről csak írták, de még senki sem értette, hogy milyen problémákat oldhat meg. A hét Konigsberg-hida kitűnően kísérletileg megerősítette az új elméletet, mivel a probléma nem igényelt méréseket vagy pontos számításokat. A komplex várostérképet egyszerű és érthető grafikákká (diagrammá) alakíthatja, anélkül, hogy elveszítené fontos információit.
Noha kísértés lehet arra, hogy ezt a problémát úgy oldja meg, hogy feltérképezi az összes lehetséges utat a városon keresztül, Euler rögtön rájött, hogy ez a stratégia túl sokáig tart, és nem fog működni más hasonló problémákkal (mi lenne, ha mondjuk tizenkét lenne) áthidalja?). Ehelyett úgy döntött, hogy szünetelteti a hidakat egy ideig, és A, B, C és D betűkkel megjelölte a földet. Így a híd áthaladását az A területről a B területre AB-ként, és az A területről a B területre történő utazását leírhatja. D mint ABD. Fontos itt megjegyezni, hogy az útvonalleírásban a betűk száma mindig egynél több lesz, mint a keresztezett hidak száma. Így az AB út egy hidat keresztez, az ABD út pedig két hidat keresztez és így tovább. Euler rájött, hogy mivel Konigsbergben hét hida van, annak érdekében, hogy átkeljenek mindegyikükbe,az útvonalnak nyolc betűből kell állnia, ami azt jelenti, hogy a probléma megoldásához pontosan nyolc betűre van szükség.
Aztán általánosabb szabályt állított fel, még egyszerűsített sémát használva. Ha csak két szárazföldi szakasza van, az A és a B, és egyszer áthaladt a hídon, akkor az A szakasz lehet az az út, ahol megindult vagy ahol véget ért, de az A szakaszban csak egyszer lennél. Ha egyszer áthúzza az a, b és c hidakat, pontosan kétszer lenne az A szakaszon. Ez egy praktikus szabályhoz vezetett: ha egy pár darab földhöz vezető hidak száma van, hozzá kell adnia egyet ehhez a számhoz, majd el kell osztani a teljes összeget kettővel, hogy kitalálhassa, hányszor kell ezt a részt használni az utazás során. (ebben a példában, egyhez hozzáadva a hidak számát, azaz 3-hoz kapunk négyet, és osztva négyet kettővel, kettőt kapunk,vagyis az út során pontosan kétszer keresztezi az A) szakaszt.
Promóciós videó:
Ez az eredmény visszatért Eulerhez az eredeti problémájához. Öt hidak vezetnek az A szakaszhoz, tehát a keresett nyolc betűs megoldást háromszor kell átlépni. A B, C és D szakaszoknak két híd van, amelyek oda vezetnek, tehát mindegyiknek kétszer kereszteznie kell. De a 3 + 2 + 2 + 2 9, nem 8, bár a körülményektől függően csak 8 szakaszon kell átmenned és 7 hidat keresztezni. Ez azt jelenti, hogy lehetetlen átmenni az egész Königsberg városon, minden egyes híd segítségével pontosan egyszer. Más szavakkal, ebben az esetben a problémának nincs megoldása.
Az igazi matematikushoz hasonlóan, Euler azonban nem állt meg itt. Folytatta a munkát, és általánosabb szabályt hozott létre más városok számára, eltérő számú hidakkal. Ha a város páratlan számú hidakkal rendelkezik, akkor egyszerűen megtudhatja, lehet-e ilyen kirándulást megtenni: ha egy földterületet jelölő egyes betűk előfordulásainak száma az egynél több, mint a hidak száma (mint például a nyolcbetűs megoldásban, kb. már említettük), ilyen utazás lehetséges. Ha az összeg nagyobb, mint ez a szám, akkor lehetetlen.
Mi van páros számú hidakkal? Ebben az esetben minden attól függ, hogy hol kezdje. Ha az A szakaszból indul és két hídon keresztezi, akkor A kétszer jelenik meg a megoldásban. Ha a másik oldalról indul, az A csak egyszer jelenik meg. Ha négy hida van, akkor A háromszor jelenik meg, ha ez a szakasz volt a kiindulási pont, vagy kétszer, ha nem. Általánosságban ez azt jelenti, hogy ha az utazás nem az A szakaszból indul, akkor azt kétszer annyival kell átlépni, mint a hidak száma (négy osztva kettővel kettőt ad). Ha az utazás az A szakaszból indul, akkor még egyszer kereszteznie kell azt.
Euler megoldásának zseni még a válaszban sem rejlik, hanem az általa alkalmazott módszerben. Ez volt a gráfelmélet, a hálózati elméletnek is nevezett egyik legkorábbi alkalmazásának esete, amely ma a matematika egyik legkeresettebb területe, tele van közlekedési, társadalmi és elektronikus hálózatokkal. Königsberg vonatkozásában a város új híddal zárta végül az Euler döntését vitatottnak, majd a brit erők a II. Világháború idején a város nagy részét elpusztították. Manapság mind a város, mind a folyó új neveket kap, de a régi probléma egy teljesen új matematikai területen él.
Igor Abramov