A kvantumjelenségek leírása során az elmélet eddig felülmúlta a kísérletet, így nem lehet megkülönböztetni, hogy a fizika hol kezdődik, és ezen a területen kezdődik a matematika. A RIA Novosti tudósítója a dubnai Közös Nukleáris Kutatóintézetben (JINR) tartott nemzetközi tudományos iskola résztvevőivel beszélt arról, hogy milyen matematikára van szükség a kvantumfizikához, és milyen problémákat old meg a két legszigorúbb tudomány képviselői.
A "Statisztikai összegek és automatizált formák" iskola nyolcvan fiatal kutatót és tanárt vonzott a világ minden tájáról, köztük Hermann Nicolait, az Albert Einstein Intézet igazgatóját (Németország).
Szervezői a Közgazdaságtudományi Felsőoktatás Matematikai Karának Tükör-szimmetria és automatizált formáinak laboratóriumáról hangsúlyozzák, hogy Oroszországban aktívabbá váltak a vezető tudományos iskolák, amelyek számos területen a kutatás élvonalát képviselik.
Matematikusok sikere szorosan kapcsolódik az elméleti fizikusok eredményéhez, akik a kvantumfizika új megnyilvánulásait keresik. Szó szerint ez a másik világ, amelynek létezését feltételezik a Newton és Einstein valóságán kívül. Annak érdekében, hogy következetesen leírhassák a klasszikus fizika törvényeit, a tudósok az 1970-es években feltalálták a húr elméletét. Azt állítja, hogy az univerzumot nem pont részecskék alapján lehet megítélni, hanem kvantumszálak segítségével.
Az összes hallgató számára ismert „pont”, „vonal”, „sík” fogalmak elmosódnak a kvantumvilágban, a határok eltűnnek, és ugyanaz a húrelmélet nagyon komplex belső struktúrát kap. Az ilyen szokatlan tárgyak megértése valami különlegeset igényel. Nevezetesen a tükörszimmetria, amelyet a húros fizikusok javasoltak az 1990-es évek elején. Ez kiváló példa arra, hogy az új matematikai struktúrák hogyan alakulnak ki a fizikai intuícióból.
A hétköznapi világban ez a szimmetria akkor jelenik meg, amikor például tükörben látjuk a reflexiónkot. A kvantum világban ez mérhetetlenül összetettebb, elvont nézet, amely megmagyarázza, hogy két különböző megjelenésű elmélet valójában hogyan írja le az elemi részecskék egy rendszerét a különböző dimenziós kölcsönhatás szintjén a multidimenziós téridőben.
A fizikusok felfedezett hatásának tanulmányozására szolgáló matematikai programot - a homológ tükör-szimmetria hipotézisét - 1994-ben javasolta Maxim Kontsevich matematikus. Négy évvel később elnyerte a Fields-díjat, a matematikai világ Nobel-díját.
Oroszországban a bolgár származású amerikai matematikus, Ljudmila Katsarkova, a Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának diplomáját meghívták a tükörszimmetria irányának kidolgozására. Projektjét és laboratóriumának létrehozását a HSE-ben 2016 végén az orosz kormány támogatta a mega-támogatási program keretében. A Kontsevich egyik társszerzőjeként Katsarkov vonzotta őt munkához.
Promóciós videó:
Az intuíciótól a bizonyításig
Az iskola oktatóinak többsége ezen a dinamikus területen működik, a tér-idő geometria, a kettős mező és a húr elméletek kapcsán, közvetlenül vagy közvetve segítve a kvantumvilág rejtvényeinek elkészítésében. Számukra az egyik fő kutatási objektum a nagyon nagy rendszerek, amelyek végtelen számú részecskét tartalmaznak. Ezeknek a rendszereknek a termodinamikai egyensúlyban való leírására a fizikusok kiszámítják a partíciós függvényeknek nevezett mennyiségeket.
A sokrétú tükör-szimmetria, Nekrasov azonnali partíciós funkciói és a húrelméletbe és a kvantummező-elméletekbe bevezetett egyéb fogalmak teljesen új objektumokká váltak a matematikusok számára, amelyeket érdeklődéssel kezdtek elemezni. Kiderült például, hogy kényelmes az állami összegek leírása automatizált formák felhasználásával - egy speciális funkciócsoport, amelyet a számelméletben már régóta tanulmányoztak.
Az összes hallgató számára ismert „pont”, „vonal”, „sík” fogalmak elmosódnak a kvantumvilágban, a határok eltűnnek, és ugyanaz a húrelmélet nagyon komplex belső struktúrát kap. Az ilyen szokatlan tárgyak megértése valami különlegeset igényel. Nevezetesen a tükörszimmetria, amelyet a húros fizikusok javasoltak az 1990-es évek elején. Ez kiváló példa arra, hogy az új matematikai struktúrák hogyan alakulnak ki a fizikai intuícióból.
A hétköznapi világban ez a szimmetria akkor jelenik meg, amikor például tükörben látjuk a reflexiónkot. A kvantum világban ez mérhetetlenül összetettebb, elvont nézet, amely megmagyarázza, hogy két különböző megjelenésű elmélet valójában hogyan írja le az elemi részecskék egy rendszerét a különböző dimenziós kölcsönhatás szintjén a multidimenziós téridőben.
A fizikusok felfedezett hatásának tanulmányozására szolgáló matematikai programot - a homológ tükör-szimmetria hipotézisét - 1994-ben javasolta Maxim Kontsevich matematikus. Négy évvel később elnyerte a Fields-díjat, a matematikai világ Nobel-díját.
Oroszországban a bolgár származású amerikai matematikus, Ljudmila Katsarkova, a Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának diplomáját meghívták a tükörszimmetria irányának kidolgozására. Projektjét és laboratóriumának létrehozását a HSE-ben 2016 végén az orosz kormány támogatta a mega-támogatási program keretében. A Kontsevich egyik társszerzőjeként Katsarkov vonzotta őt munkához.
Az intuíciótól a bizonyításig
Az iskola oktatóinak többsége ezen a dinamikus területen működik, a tér-idő geometria, a kettős mező és a húr elméletek kapcsán, közvetlenül vagy közvetve segítve a kvantumvilág rejtvényeinek elkészítésében. Számukra az egyik fő kutatási objektum a nagyon nagy rendszerek, amelyek végtelen számú részecskét tartalmaznak. Ezeknek a rendszereknek a termodinamikai egyensúlyban való leírására a fizikusok kiszámítják a partíciós függvényeknek nevezett mennyiségeket.
A sokrétú tükör-szimmetria, Nekrasov azonnali partíciós funkciói és a húrelméletbe és a kvantummező-elméletekbe bevezetett egyéb fogalmak teljesen új objektumokká váltak a matematikusok számára, amelyeket érdeklődéssel kezdtek elemezni. Kiderült például, hogy kényelmes az állami összegek leírása automatizált formák felhasználásával - egy speciális funkciócsoport, amelyet a számelméletben már régóta tanulmányoztak.
A művész tükörszimmetria elképzelése. Illusztráció: RIA Novosti. Alina Polyanina
Sok példa van a matematika ellentétes hatására az elméleti fizikára.
„Az ellipszis hipergeometriai integráloknak nevezett speciális funkciók új osztályának elméletén dolgoztam. Aztán kiderült, hogy ezeket a tárgyakat a fizikusok különleges típusú statisztikai összegekként igénylik”- mondja Vjatcsslav Spiridonov, a JINR Elméleti Fizikai Laboratóriuma matematikai fizikus.
Spiridonov 2000-ben mutatta be integrálokat, és nyolc évvel később két cambridge-i fizikus jött ugyanabba az integrálba, kiszámítva a szuperkonformális mutatókat (vagy szuperszimmetrikus partíciós függvényeket) Seiberg kettősség-elmélete keretében.
„A szuperkonformális indexek nagyon kényelmesek az elektromágneses kettősségek leírására, általánosítva azt a jelenséget, amely először a Maxwell-egyenletekben nyilvánul meg (az egyik jelenségben kölcsönösen kiegészítő fizikai tulajdonságok jelenléte. - Szerkesztés). A felépített matematikai elmélet segítségével új kettősségeket jósoltunk meg, amelyekről a fizikusok hiányoztak. A fizikusok elképzeléseket fejeznek ki, előzetes eredményeket kapnak, a matematikusok pedig abszolút, szisztematikus elemzést készítenek: meghatározásokat adnak, tételeket fogalmaznak meg, bizonyítják, anélkül, hogy bármilyen szünetet hagynának a jelenség leírásában. Hány még létezik? Mi hiányzott a fizikusoktól? A matematikusok válaszolnak ezekre a kérdésekre. A fizikusok érdeklődnek a matematikusok által osztályozott összes objektum iránt - mondja Spiridonov.
Kvantum gravitáció és szuperszimmetria keresésekor
„Meg akarom érteni a kvantum gravitáció természetét és a fekete lyukak fizikáját, ha a húr elmélete helyes-e a természet leírására. Ez az én motivációm. Ehhez ki kell számítania a fizikai mennyiségeket, és összehasonlítania kell azokat a kísérlettel. De az a tény, hogy ezek nagyon összetett számítások, sok matematikai probléma merül fel”- mondta Pierre Vanhove a Teoretikus Fizikai Intézetből (Saclay, Franciaország), a HSE laboratóriumának társult tagja.
A fizikus, aki meg akarja érteni a nagy robbanás előtt történt eseményeket, hogy megvizsgálja a fekete lyuk konfigurációját, kénytelen foglalkozni egy térrel összenyomott térrel, amelynek eredményeként geometriája jelentősen megváltozik. A relativitáselmélet nem tudja megmagyarázni ezeket a tárgyakat, valamint más nem-klasszikus jelenségeket - sötét anyag, sötét energia. A tudósok létezését közvetett jelek alapján ítélik meg, de még nem sikerült rögzíteni egy új fizika megnyilvánulásait egy kísérletben, ideértve a kvantitatív gravitáció jeleit is - ez az elmélet összekapcsolná az általános relativitáselméletet és a kvantummechanikát. A szovjet fizikus, Matvey Bronstein az eredete az 1930-as évek közepén állt.
A tudósok egyébként csak 2015-ben vették fel egy klasszikus (Einstein elméletének szempontjából) gravitációs hullámokat egy kísérletben. Ehhez jelentősen frissíteniük kellett a LIGO érzékelőt. A gravitáció kvantum jellegének megismeréséhez még nagyobb műszeres pontosságra van szüksége, amely a technológiai fejlődés jelenlegi szintjén elérhetetlen.
„Jelenleg a LIGO mérések nem adnak hozzáférést ehhez az új fizikához, ehhez időbe telik az elérés. Valószínűleg időigényes. Ki kell találnunk új módszereket, matematikai eszközöket. Korábban csak a gyorsítógépek voltak az új fizika keresésére, amelyek közül a legerősebb az LHC; most már nyitva van egy másik út - a gravitációs hullámok vizsgálata”- magyarázza Vankhov.
A megfigyelt világ furcsaságainak magyarázata érdekében például a tudósok bevezették a szuperszimmetria hipotézist. Elmondása szerint az elemi részecskéknek, amelyeket a kísérletekben megfigyelünk, ikreknek kell lennie a világunk "egy másik" területén. Ezeknek az ikreknek az egyik várható megnyilvánulása az, hogy a legkönnyebb sötét anyagot képez, vagyis körülöttünk él, de megközelíthetetlen a megfigyeléshez.
„A szuperszimmetria megtekintéséhez jobban meg kell értenie a részecskék szerkezetét, és ehhez még több gyorsítóenergia szükséges. Például, ha a protonok ütközésekor a szokásos részecskék szuperszimmetrikus partnereinek születését látjuk, akkor az, amit csinálunk, valóban létezik. Jelenleg a CERN-nél a gyorsító maximális energiával ütközik a részecskékbe, de a szuperszimmetriát még nem fedezték fel. Megjelenésének határa - a plancki energia - elérhetetlen.”- mondja Ilmar Gahramanov, az Állami Szépművészeti Egyetem Matematikai Fizikai Tanszékének vezetője, Mimar Sinan (Isztambul, Törökország), a MISiS diplomája után.
A szuperszimmetrának azonban léteznie kell. Gahramanov úgy véli, hogy az ötlete, a matematika "nagyon szép".
„A képletek egyszerűsödnek, egyes problémák eltűnnek, sok jelenség megmagyarázható ezzel az elmélettel. Azt akarjuk hinni, hogy létezik, mivel a szuperszimmetria gondolatai lehetővé teszik számunkra, hogy érdekes eredményeket kapjunk más, kísérletileg tesztelhető elméletek számára. Vagyis az abban felmerülő módszerek, technológia, matematika más területekre is átkerülnek”- mondja a tudós.
Tiszta matematika
Az egyik ilyen terület, amely a húr elméletben megfogalmazott problémáknak köszönhetően fejlődik, a holdfény elmélete.
A "Moonshine" angolul alváshoz és őrülethez egyaránt vonatkozik "- mondja John Duncan az Emory University-ből (USA).
Az érthetőség kedvéért beszédében a közönségnek egy fotót mutat be az Akropolisz feletti vörösvörös holdról, amelyet január 31-én szuperhó alatt készítettek. Duncan-t Új-Zélandon szerzett végzettséggel, majd az Egyesült Államokba jött doktori fokozatának folytatására. Igor Frenkel, az egykori szovjet matematikus úgy döntött, hogy foglalkozik a Munshine elmélettel (amelyet oroszul "értelmetlen elméletnek" fordítottak), amely hidakat épített a "szörny" - a szimmetriák legnagyobb véges kivételes csoportja - és más matematikai tárgyak között: automata formák, algebrai görbék és csúcs-algebrák.
„A húr elméletből nagyon mély matematikai ötletek származtak, amelyek megváltoztatták a geometria, a Lie algebras elmélete, az automata formák elmélete. A filozófiai koncepció megváltozott: mi a tér, mi a sokféleség. Megjelent új típusú geometriák, új invariánsok. Az elméleti fizika új ötletekkel gazdagítja a matematikát. Elkezdjük velük dolgozni, majd visszajuttatjuk őket a fizikusokhoz. Valójában a matematikát újjáépítik, ahogyan ez a XX. Század 20-30-as éveiben történt a kvantummechanika fejlesztése után, amikor világossá vált, hogy a matematikában vannak más olyan struktúrák, amelyeket még nem láttak”- mondja Valerij Gritsenko, a Lillei Egyetem professzora.) és a HSE.
Gritsenko tiszta matematikával foglalkozik, ám eredményeit a fizikusok igénylik. Az egyik legnagyobb eredménye, amelyet a Vjacseszlav Nikulin matematikussal közösen szerzett, a végtelen dimenziós automatizált hiperbolikus Kac - Moody algebrák osztályozása, amely alkalmazást talált a húrelméletben. Herman Nicolai az előadását az E10 típusú hiperbolikus Kats-Moody algebrai leírásának köszönheti, amely állítólag a természet összes fizikai szimmetriájának egységesítője.
Annak ellenére, hogy nem léteznek kísérleti megnyilvánulások a húros elméletben, a szuperszimmetria és a kvantitatív gravitáció, a tudósok nemcsak nem dobják ki ezeket a fogalmakat, hanem éppen ellenkezőleg, továbbra is aktívan fejlesztik azokat. Tehát "Nem egy geométer, ne engedje be!" - a Platón Akadémia mottója, amelyet két és fél évezredeken át fogalmaztak meg, a leginkább releváns korunkban az elméleti fizika számára.
Tatiana Pichugina